Упр.332 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 332. Каким должно быть целое число n, чтобы числа вида 7n — 1 делились на 8 и 6? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 332 1012

Рассмотрим выражение $$7^n-1.$$

Чтобы оно делилось на $$8,$$ нужно, чтобы число $$7^n-1$$ было кратно $$8.$$ Так как $$7 \equiv -1 \pmod{8},$$ то

$$7^n \equiv (-1)^n \pmod{8}.$$

Тогда

$$7^n-1 \equiv (-1)^n-1 \pmod{8}.$$

Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1,$$ и выражение делится на $$8.$$ Если $$n$$ нечётное, то деления на $$8$$ нет.

Проверим делимость на $$6.$$ Так как $$7 \equiv 1 \pmod{6},$$ то

$$7^n-1 \equiv 1^n-1=0 \pmod{6},$$

то есть выражение делится на $$6$$ при любом целом $$n.$$

Значит, чтобы число $$7^n-1$$ делилось и на $$8,$$ и на $$6,$$ число $$n$$ должно быть чётным.

Ответ

$$n$$ — чётное число.