Упр.331 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 331. Каким должно быть целое число n, чтобы числа вида 10n + 1 делились на 11? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 331 1012

Рассмотрим делимость числа $$10^n+1$$ на $$11$$.

Так как $$10 \equiv -1 \pmod{11}$$, то

$$10^n+1 \equiv (-1)^n+1 \pmod{11}.$$

Чтобы выражение делилось на $$11$$, нужно, чтобы

$$(-1)^n+1 \equiv 0 \pmod{11}.$$

Это возможно только при нечётном $$n$$, потому что тогда $$(-1)^n=-1$$ и

$$(-1)^n+1=-1+1=0.$$

При чётном $$n$$ получаем $$(-1)^n+1=2$$, а число $$2$$ на $$11$$ не делится.

Значит, $$n$$ должно быть нечётным числом, то есть

$$n=2k+1,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$n=2k+1,\ k\in \mathbb{Z}$$, то есть $$n$$ — нечётное число.