Упр.329 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 329. Решить уравнение (х2 — Зх + 2)(х2 — 7х + 12) = 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 329 1012

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=4 $$

Разложим множители на линейные:

$$ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=4 $$

Сгруппируем множители:

$$ (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=4 $$

Положим $$y=x^2-5x+4$$, тогда $$x^2-5x+6=y+2$$. Получаем:

$$ y(y+2)=4 $$

$$ y^2+2y-4=0 $$

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20 $$

$$ y=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5 $$

Рассмотрим оба значения.

1) $$y=-1-\sqrt5$$.

Тогда

$$ x^2-5x+4=-1-\sqrt5 $$

$$ x^2-5x+(5+\sqrt5)=0 $$

$$ D=25-4(5+\sqrt5)=5-4\sqrt5<0 $$

Действительных корней нет.

2) $$y=-1+\sqrt5$$.

Тогда

$$ x^2-5x+4=-1+\sqrt5 $$

$$ x^2-5x+(5-\sqrt5)=0 $$

$$ D=25-4(5-\sqrt5)=5+4\sqrt5 $$

$$ x=\frac{5\pm\sqrt{5+4\sqrt5}}{2} $$

Ответ

$$ x=\frac{5-\sqrt{5+4\sqrt5}}{2},\ \frac{5+\sqrt{5+4\sqrt5}}{2} $$