Упр.328 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (2х2 -х- 1)(2х2 — х — 5) — 5 = 0;
2) (3х2 -х- 4)(3х2 — х + 2) — 7 = 0.

1) Введём вспомогательное неизвестное: $$y=2x^2-x-1.$$ Тогда уравнение примет вид

$$y(y-4)-5=0,$$

то есть

$$y^2-4y-5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=5.$$

Теперь решим два уравнения:

$$2x^2-x-1=-1,$$

$$2x^2-x=0,$$

$$x(2x-1)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=\frac12.$$

И

$$2x^2-x-1=5,$$

$$2x^2-x-6=0.$$

Тогда

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49,$$

$$x=\frac{1\pm 7}{4},$$

откуда

$$x_1=-\frac32,\qquad x_2=2.$$

Следовательно,

$$x=-\frac32,\ 0,\ \frac12,\ 2.$$

2) Введём вспомогательное неизвестное: $$y=3x^2-x-4.$$ Тогда

$$y(y+6)-7=0,$$

то есть

$$y^2+6y-7=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-7,\qquad y_2=1.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$3x^2-x-4=-7,$$

$$3x^2-x+3=0.$$

Здесь

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 3=1-36=-35<0,$$

поэтому действительных корней нет.

2) $$3x^2-x-4=1,$$

$$3x^2-x-5=0.$$

Тогда

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=1+60=61,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{61}}{6}.$$

Ответ

1) $$-\frac32,\ 0,\ \frac12,\ 2.$$

2) $$\frac{1-\sqrt{61}}{6},\ \frac{1+\sqrt{61}}{6}.$$