Упр.327 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 327. Доказать, что уравнение ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0 заменой х + 1/x = t сводится к уравнению at2 + bt + с — 2а = О. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 327 1012

Разделим уравнение на $$x^2$$:

$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$$

$$ax^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2}=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0.$$

Так как

$$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2,$$

то при замене $$t=x+\frac{1}{x}$$ получаем:

$$a(t^2-2)+bt+c=0,$$

то есть

$$at^2+bt+c-2a=0.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

При замене $$t=x+\frac{1}{x}$$ уравнение сводится к виду $$at^2+bt+c-2a=0$$.