Упр.326 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 326. Доказать, что если х1, х2 — корни многочлена Р(х), то Р(х) делится на многочлен х2 — (х1 + х2)х + х1х2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 326 1012

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни многочлена $$P(x)$$, то по теореме о делителе многочлена

$$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot Q(x),$$

где $$Q(x)$$ — некоторый многочлен.

Раскроем скобки:

$$ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. $$

Тогда

$$ P(x)=\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)\cdot Q(x). $$

Следовательно, многочлен $$P(x)$$ делится на многочлен $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.

Ответ

$$P(x)$$ делится на $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.