Упр.326 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$x_1$$, $$x_2$$ — корни многочлена $$P(x)$$, то $$P(x)$$ делится на многочлен $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни многочлена $$P(x)$$, то по теореме о делителе многочлена

$$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot Q(x),$$

где $$Q(x)$$ — некоторый многочлен.

Раскроем скобки:

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2.$$

Тогда

$$P(x)=\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)\cdot Q(x).$$

Следовательно, многочлен $$P(x)$$ делится на многочлен $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.

Ответ

$$P(x)$$ делится на $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$.