Упр.325 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 325. Доказать, что если уравнение хn + а1xn-1 + а2хn-2 + …+ аn = 0 с целыми коэффициентами а1, а2, …, an имеет рациональный корень, то этот корень — целое число. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 325 1012

Пусть рациональный корень уравнения имеет вид $$x_0=\frac{m}{n},$$ где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$\gcd(m,n)=1,$$ $$n\neq 0.$$

Подставим $$x_0$$ в уравнение

$$x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n=0.$$

Тогда

$$\left(\frac{m}{n}\right)^n+a_1\left(\frac{m}{n}\right)^{n-1}+a_2\left(\frac{m}{n}\right)^{n-2}+\dots+a_n=0.$$

Умножим на $$n^n$$:

$$m^n+a_1m^{n-1}n+a_2m^{n-2}n^2+\dots+a_{n-1}mn^{n-1}+a_nn^n=0.$$

Из этого равенства следует, что $$m^n$$ делится на $$n.$$ Так как $$\gcd(m,n)=1,$$ то $$\gcd(m^n,n)=1.$$ Значит, число $$n$$ может быть только равным $$1$$ или $$-1$$.

Следовательно, $$x_0=\frac{m}{n}$$ — целое число.

Ответ

Если уравнение $$x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n=0$$ с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом.