Упр.324 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) Р(х) = х4 — 2х3 — 13х2 + 14х + 24, а = -1;
2) Р(х) = бх4 + 5х3 — 14х2 + х + 2, а = 1.

1. $$P(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24,\quad a=-1.$$

   Проверим, является ли число $$-1$$ корнем многочлена:

   $$P(-1)=(-1)^4-2(-1)^3-13(-1)^2+14(-1)+24=1+2-13-14+24=0.$$

   Значит, $$-1$$ — корень многочлена. Разделим многочлен на $$x+1$$:

   $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2-x-12).$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$

   Тогда

   $$P(x)=(x+1)(x-2)(x-4)(x+3).$$

   Целые корни многочлена:

   $$x=-1,\,-3,\,2,\,4.$$

2. $$P(x)=6x^4+5x^3-14x^2+x+2,\quad a=1.$$

   Проверим число $$1$$:

   $$P(1)=6+5-14+1+2=0.$$

   Значит, $$1$$ — корень многочлена. Разложим многочлен на множители:

   $$P(x)=(x-1)(x+2)(6x^2-x-1).$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$6x^2-x-1=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25.$$

   $$x=\frac{1\pm 5}{12}.$$

   Отсюда

   $$x_1=\frac{1+5}{12}=\frac12,\qquad x_2=\frac{1-5}{12}=-\frac13.$$

   Целые корни многочлена:

   $$x=-2,\;1.$$

Ответ

1) $$-1$$ — корень; другие целые корни: $$-3,\;2,\;4.$$

2) $$1$$ — корень; другие целые корни: $$-2.$$