Упр.323 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2х5 — х4 + 2х — 1 = 0;
2) 4х5 — х3 — 4х2 + 1 = 0;
3) 6х6 — х5 — х4 + 6х2 — х — 1 = 0;
4) 4х6 + 4х5 — х4 — 5х3 — 4х2 + х + 1 = 0.

1. $$2x^5-x^4+2x-1=0$$
   $$x^4(2x-1)+(2x-1)=0$$
   $$\left(x^4+1\right)(2x-1)=0$$
   Так как $$x^4+1>0$$ при любом действительном $$x$$, то
   $$2x-1=0,\quad x=\frac12.$$

2. $$4x^5-x^3-4x^2+1=0$$
   $$x^3(4x^2-1)-(4x^2-1)=0$$
   $$\left(x^3-1\right)\left(4x^2-1\right)=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0.$$
   Из уравнения $$x^2+x+1=0$$ действительных корней нет, так как
   $$D=1-4=-3<0.$$
   Поэтому
   $$x=1,\quad x=\frac12,\quad x=-\frac12.$$

3. $$6x^6-x^5-x^4+6x^2-x-1=0$$
   $$x^4(6x^2-x-1)+(6x^2-x-1)=0$$
   $$\left(x^4+1\right)\left(6x^2-x-1\right)=0.$$
   Так как $$x^4+1>0$$ при любом действительном $$x$$, решаем:
   $$6x^2-x-1=0.$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25.$$
   $$x=\frac{1\pm 5}{12}.$$
   Тогда
   $$x=\frac12,\quad x=-\frac13.$$

4. $$4x^6+4x^5-x^4-5x^3-4x^2+x+1=0$$
   $$4x^5(x+1)-x^3(x+1)-4x^2(x+1)+(x+1)=0$$
   $$\left(x+1\right)\left(4x^5-x^3-4x^2+1\right)=0.$$
   Далее:
   $$\left(x+1\right)\left(x^3-1\right)\left(4x^2-1\right)=0.$$
   Разложим дальше:
   $$\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0.$$
   Действительные корни:
   $$x=-1,\quad x=1,\quad x=\frac12,\quad x=-\frac12.$$

Ответ

1) $$\frac12$$;
2) $$-\frac12,\ \frac12,\ 1$$;
3) $$-\frac13,\ \frac12$$;
4) $$-1,\ -\frac12,\ \frac12,\ 1$$.