Упр.322 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 322. Доказать теорему Виета для кубического уравнения: «Если x1, х2, х3 — корни уравнения х3 + ах2 + bх + с = 0, то x1 + х2 + х3 = -a, x1x2 + х1х3 + х2х3 = b, х1х2х3 = -с». *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 322 1012

Подробный ответ

Пусть $$x_1, x_2, x_3$$ — корни уравнения

$$x^3+ax^2+bx+c=0.$$

Тогда многочлен можно разложить на линейные множители:

$$x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$

Раскроем скобки:

$$ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)= (x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)(x-x_3). $$

$$ = x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3. $$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$ в тождестве

$$x^3+ax^2+bx+c=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3,$$

получаем:

$$x_1+x_2+x_3=-a,$$