Упр.321 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 321. Числа 3 и -4 являются корнями уравнения х3 + х2 + + ах + b = 0. Найти а, b и третий корень этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 321 1012

Подставим данные корни в уравнение $$x^3+x^2+ax+b=0.$$

При $$x=3$$ получаем:

$$3^3+3^2+3a+b=0,$$

$$27+9+3a+b=0,$$

$$3a+b=-36.$$

При $$x=-4$$ получаем:

$$(-4)^3+(-4)^2-4a+b=0,$$

$$-64+16-4a+b=0,$$

$$-4a+b=48.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} 3a+b=-36,\\ -4a+b=48. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-7a=84,$$

$$a=-12.$$

Тогда

$$3\cdot(-12)+b=-36,$$

$$-36+b=-36,$$

$$b=0.$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$x^3+x^2-12x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$x(x^2+x-12)=0,$$

$$x(x-3)(x+4)=0.$$

Следовательно, третий корень равен $$0$$.

Ответ

$$a=-12,\quad b=0,\quad x_3=0.$$