Упр.319 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

319. 1) (2х + 1)(х3 + 1) + х2 = 2х(х3 + 3) — 5;
2) (2х2 — 1)2 + х(2х — 1)2 = (х + 1)2 + 16х2 — 6.

1. $$ (2x+1)(x^3+1)+x^2=2x(x^3+3)-5 $$

   Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
   $$ 2x^4+2x+x^3+1+x^2=2x^4+6x-5 $$
   $$ x^3+x^2-4x+6=0 $$

   Подберём рациональный корень. Проверяем $$x=-3$$:
   $$ (-3)^3+(-3)^2-4(-3)+6=-27+9+12+6=0 $$
   значит, $$x=-3$$ — корень.

   Разложим многочлен на множители:
   $$ x^3+x^2-4x+6=(x+3)(x^2-2x+2) $$
   Тогда
   $$ (x+3)(x^2-2x+2)=0 $$

   У квадратного уравнения
   $$ x^2-2x+2=0 $$
   дискриминант
   $$ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0 $$ рациональных корней нет.

   Следовательно, рациональный корень один:
   $$ x=-3 $$

2. $$ (2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6 $$

   Раскроем скобки:
   $$ 4x^4-4x^2+1+x(4x^2-4x+1)=x^2+2x+1+16x^2-6 $$
   $$ 4x^4+4x^3-25x^2-x+6=0 $$

   Проверим рациональный корень $$x=2$$:
   $$ 4\cdot 2^4+4\cdot 2^3-25\cdot 2^2-2+6=64+32-100-2+6=0 $$
   значит, $$x=2$$ — корень.

   Делим многочлен на $$x-2$$:
   $$ 4x^4+4x^3-25x^2-x+6=(x-2)(4x^3+12x^2-x-3) $$

   Далее группируем:
   $$ 4x^3+12x^2-x-3=4x^2(x+3)-1(x+3)=(x+3)(4x^2-1) $$
   $$ 4x^2-1=(2x-1)(2x+1) $$

   Тогда
   $$ (x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1)=0 $$

   Отсюда рациональные корни:
   $$ x=-3,\; -\frac12,\; \frac12,\; 2 $$

Ответ

1) $$-3$$; 2) $$-3,\; -\frac12,\; \frac12,\; 2$$.