Упр.319 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. 319. Найти рациональные корни уравнения:
   
   1) $$(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) — 5;$$
   
   2) $$(2x^2 — 1)^2 + x(2x — 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 — 6.$$

1. $$(2x+1)(x^3+1)+x^2=2x(x^3+3)-5$$

   Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:
   $$2x^4+2x+x^3+1+x^2=2x^4+6x-5$$
   $$x^3+x^2-4x+6=0$$

   Подберём рациональный корень. Проверяем $$x=-3$$:
   $$(-3)^3+(-3)^2-4(-3)+6=-27+9+12+6=0$$
   значит, $$x=-3$$ — корень.

   Разложим многочлен на множители:
   $$x^3+x^2-4x+6=(x+3)(x^2-2x+2)$$
   Тогда
   $$(x+3)(x^2-2x+2)=0$$

   У квадратного уравнения
   $$x^2-2x+2=0$$
   дискриминант
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$$ рациональных корней нет.

   Следовательно, рациональный корень один:
   $$x=-3$$

2. $$(2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6$$

   Раскроем скобки:
   $$4x^4-4x^2+1+x(4x^2-4x+1)=x^2+2x+1+16x^2-6$$
   $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6=0$$

   Проверим рациональный корень $$x=2$$:
   $$4\cdot 2^4+4\cdot 2^3-25\cdot 2^2-2+6=64+32-100-2+6=0$$
   значит, $$x=2$$ — корень.

   Делим многочлен на $$x-2$$:
   $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6=(x-2)(4x^3+12x^2-x-3)$$

   Далее группируем:
   $$4x^3+12x^2-x-3=4x^2(x+3)-1(x+3)=(x+3)(4x^2-1)$$
   $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$

   Тогда
   $$(x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1)=0$$

   Отсюда рациональные корни:
   $$x=-3,\; -\frac12,\; \frac12,\; 2$$

Ответ

1) $$-3$$; 2) $$-3,\; -\frac12,\; \frac12,\; 2$$.