Упр.316 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) х4 + х5 — 7х2 — х + 6 = 0, х1 = 2;
2) 2х4 + 12х3 + 11х2 + бx2 + 5 = 0, х1= -1;
3) 2х5 — х4 — 12х3 + бх2 + 18x: — 9 = 0, х1 = 1/2;
4) 3х5 + х4 — 15х3 — 5×2 + 12x + 4 = 0, х1 = -1/3.

1. $$x^4+x^3-7x^2-x+6=0,\quad x_1=2.$$

   Так как $$x=2$$ — корень уравнения, разделим многочлен на $$x-2$$:

   $$x^4+x^3-7x^2-x+6=(x-2)(x^3+3x^2-x-3).$$

   Разложим кубический многочлен на множители:

   $$x^3+3x^2-x-3=x^2(x+3)-1(x+3)=(x^2-1)(x+3).$$

   Тогда

   $$ (x-2)(x^2-1)(x+3)=0, $$

   $$ (x-2)(x-1)(x+1)(x+3)=0. $$

   Отсюда

   $$x=-3,\,-1,\,1,\,2.$$

2. $$2x^4+12x^3+11x^2+6x+5=0,\quad x_1=-1.$$

   Разделим многочлен на $$x+1$$:

   $$2x^4+12x^3+11x^2+6x+5=(x+1)(2x^3+10x^2+x+5).$$

   Сгруппируем:

   $$2x^3+10x^2+x+5=2x^2(x+5)+1(x+5)=(2x^2+1)(x+5).$$

   Тогда

   $$ (x+1)(2x^2+1)(x+5)=0. $$

   Из действительных корней получаем:

   $$x=-1,\,-5.$$

3. $$2x^5-x^4-12x^3+6x^2+18x-9=0,\quad x_1=\frac12.$$

   Разделим многочлен на $$2x-1$$:

   $$2x^5-x^4-12x^3+6x^2+18x-9=(2x-1)(x^4-6x^2+9).$$

   Заметим, что

   $$x^4-6x^2+9=(x^2-3)^2.$$

   Тогда

   $$ (2x-1)(x^2-3)^2=0. $$

   Следовательно,

   $$x=\frac12,\quad x=\pm\sqrt3.$$

4. $$3x^5+x^4-15x^3-5x^2+12x+4=0,\quad x_1=-\frac13.$$

   Разделим многочлен на $$3x+1$$:

   $$3x^5+x^4-15x^3-5x^2+12x+4=(3x+1)(x^4-5x^2+4).$$

   Решим уравнение

   $$x^4-5x^2+4=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-5t+4=0,$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm3}{2}.$$

   Получаем

   $$t_1=1,\quad t_2=4.$$

   Значит,

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2.$$

Ответ

1) $$-3,\,-1,\,1,\,2$$; 2) $$-5,\,-1$$; 3) $$-\sqrt3,\,\frac12,\,\sqrt3$$; 4) $$-2,\,-1,\,1,\,2$$.