Упр.315 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 3153 Доказать, что многочлен х9 + bх8 + сх7 делится на х + а, и на х + а2, где а1а2 =/ 0, тогда и только тогда, когда b=a1+a2 и c=a1a2.

Пусть

$$P(x)=x^9+bx^8+cx^7=x^7(x^2+bx+c).$$

Чтобы многочлен делился на $$x+a_1$$ и на $$x+a_2,$$ числа $$-a_1$$ и $$-a_2$$ должны быть его корнями. Так как $$a_1a_2\ne 0,$$ то $$-a_1\ne 0$$ и $$-a_2\ne 0,$$ значит можно рассматривать только множитель $$x^2+bx+c.$$

Тогда

$$x^2+bx+c=(x+a_1)(x+a_2).$$

Раскроем скобки:

$$x^2+bx+c=x^2+(a_1+a_2)x+a_1a_2.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

$$b=a_1+a_2,\qquad c=a_1a_2.$$

Обратно, если $$b=a_1+a_2$$ и $$c=a_1a_2,$$ то

$$P(x)=x^7(x+a_1)(x+a_2),$$

следовательно, многочлен делится и на $$x+a_1,$$ и на $$x+a_2.$$

Ответ

Многочлен $$x^9+bx^8+cx^7$$ делится на $$x+a_1$$ и на $$x+a_2$$ тогда и только тогда, когда $$b=a_1+a_2$$ и $$c=a_1a_2.$$