Упр.313 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 313. При делении многочлена на х + 2 остаток равен 6, при делении его на х — 3 остаток равен 26, а при делении его на х + 4 остаток равен 12. Найти остаток при делении этого многочлена на (х + 2)(х — 3)(x + 4). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 313 1012

Искомый остаток при делении на $$ (x+2)(x-3)(x+4) $$ имеет вид

$$R(x)=ax^2+bx+c.$$

Тогда

$$P(x)=(x+2)(x-3)(x+4)Q(x)+R(x).$$

Подставим значения, при которых один из множителей обращается в нуль:

$$P(-2)=6 \Rightarrow R(-2)=6,$$

$$P(3)=26 \Rightarrow R(3)=26,$$

$$P(-4)=12 \Rightarrow R(-4)=12.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 4a-2b+c=6,\\ 9a+3b+c=26,\\ 16a-4b+c=12. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$ \begin{cases} 5a+5b=20,\\ 12a-2b=6. \end{cases} $$

Отсюда

$$a+b=4,$$

$$6a-b=3.$$

Решаем систему:

$$b=4-a,$$

$$6a-(4-a)=3,$$

$$7a=7,$$

$$a=1,$$

$$b=3.$$

Теперь найдём $$c$$:

$$4\cdot 1-2\cdot 3+c=6,$$

$$c=8.$$

Следовательно,

$$R(x)=x^2+3x+8.$$

Ответ

$$x^2+3x+8$$