Упр.312 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 312. При делении многочлена на х + 3 остаток равен 10, а при делении его на х + 5 остаток равен 14. Найти остаток при делении этого многочлена на х2 + 8x + 15. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 312 1012

Так как при делении многочлена на $$x+3$$ остаток равен $$10$$, то

$$P(-3)=10.$$

Так как при делении на $$x+5$$ остаток равен $$14$$, то

$$P(-5)=14.$$

Разложим делитель:

$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5).$$

При делении многочлена $$P(x)$$ на $$x^2+8x+15$$ остаток имеет вид $$ax+b$$, поэтому

$$P(x)=Q(x)(x^2+8x+15)+ax+b.$$

Подставим $$x=-3$$ и $$x=-5$$:

$$P(-3)=-3a+b=10,$$

$$P(-5)=-5a+b=14.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(-5a+b)-(-3a+b)=14-10,$$

$$-2a=4,$$

$$a=-2.$$

Тогда из $$-3a+b=10$$ получаем:

$$-3(-2)+b=10,$$

$$6+b=10,$$

$$b=4.$$

Следовательно, остаток равен

$$-2x+4.$$

Ответ

$$-2x+4$$