Упр.311 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 311. Остаток от деления многочлена Р(х) на х + 4 равен 5, а остаток от деления его на х — 5 равен 14. Найти остаток от деления Р(х) на (х + 4)(х — 5). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 311 1012

Подробный ответ

По теореме об остатке:

$$P(-4)=5,\qquad P(5)=14.$$

Остаток при делении на произведение $$ (x+4)(x-5) $$ имеет вид линейного многочлена:

$$R(x)=ax+b.$$

Тогда

$$P(x)=Q(x)\,(x+4)(x-5)+ax+b.$$

Подставим $$x=-4$$ и $$x=5$$:

$$ \begin{cases} -4a+b=5,\\ 5a+b=14. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$9a=9,\qquad a=1.$$

Тогда