Упр.307 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Глава III

Так как многочлен $$P(x)=x^5+ax^3+bx^2+c$$ делится на $$x+2$$, то

$$P(-2)=0.$$

При делении на $$x^2-1$$ остаток равен $$-3x+3$$, значит

$$P(x)=(x^2-1)Q(x)-3x+3.$$

Подставим $$x=1$$ и $$x=-1$$:

$$P(1)=-3\cdot 1+3=0,$$

$$P(-1)=-3\cdot(-1)+3=6.$$

Составим уравнения:

$$P(1)=1+a+b+c=0,$$

$$P(-1)=-1-a+b+c=6,$$

$$P(-2)=-32-8a+4b+c=0.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 1+a+b+c=0,\\ -1-a+b+c=6,\\ -32-8a+4b+c=0. \end{cases} $$

Из первых двух уравнений:

$$2a=-8,\quad a=-4.$$

Тогда из первого уравнения:

$$-4+b+c=-1,\quad b+c=3.$$

Из третьего уравнения:

$$-32-8(-4)+4b+c=0,$$

$$4b+c=0.$$

Вычтем из уравнения $$b+c=3$$ уравнение $$4b+c=0$$:

$$-3b=3,\quad b=-1.$$

Тогда

$$c=4.$$

Ответ

$$a=-4,\quad b=-1,\quad c=4.$$