Упр.306 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 306. Найти все корни многочлена 6×3 + bх2 — 5x — 2, если одним из них является число -1/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 306 1012

Так как число $$-\frac{1}{2}$$ является корнем многочлена $$P(x)=6x^3+bx^2-5x-2,$$ то подставим его в многочлен и приравняем к нулю:

$$ P\left(-\frac{1}{2}\right)=6\left(-\frac{1}{2}\right)^3+b\left(-\frac{1}{2}\right)^2-5\left(-\frac{1}{2}\right)-2=0. $$

Вычислим:

$$ 6\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)+b\cdot\frac{1}{4}+\frac{5}{2}-2=0, $$

$$ -\frac{3}{4}+\frac{b}{4}+\frac{1}{2}=0, $$

$$ \frac{b}{4}=\frac{1}{4}, \qquad b=1. $$

Тогда многочлен имеет вид:

$$ P(x)=6x^3+x^2-5x-2. $$

Разложим его на множители, выделив известный корень $$x=-\frac{1}{2}$$:

$$ 6x^3+x^2-5x-2=(2x+1)(3x^2-x-2). $$

Теперь разложим квадратный трёхчлен:

$$ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1). $$

Следовательно,

$$ P(x)=(2x+1)(3x+2)(x-1). $$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$$ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}, $$

$$ 3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}, $$

$$ x-1=0 \Rightarrow x=1. $$

Ответ

$$-\frac{2}{3},\ -\frac{1}{2},\ 1$$