Упр.299 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 299 При каком значении а многочлен х3 + ах + 1 при делении па двучлен х — а даёт остаток, равный 3? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 299 1012

По теореме об остатке при делении многочлена $$x^3+ax+1$$ на двучлен $$x-a$$ остаток равен значению многочлена при $$x=a$$:

$$a^3+a\cdot a+1=a^3+a^2+1.$$

По условию этот остаток равен $$3$$, значит

$$a^3+a^2+1=3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^3+a^2-2=0.$$

Разложим на множители:

$$a^3+a^2-2=a^2(a-1)+2(a^2-1)=0,$$

или сразу проверим целые корни. Подходит $$a=1$$:

$$1^3+1^2-2=0.$$

Других действительных корней уравнение не имеет.

Ответ

$$a=1$$