Упр.297 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 297. При каких целых значениях n выражение (2n2-13n-45)/(3n-27) является целым числом? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 297 1012

Преобразуем дробь:

$$\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}=\frac{(2n+5)(n-9)}{3(n-9)}.$$

При $$n\neq 9$$ сокращаем на $$n-9$$:

$$\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}=\frac{2n+5}{3}.$$

Чтобы выражение было целым числом, нужно, чтобы $$2n+5$$ делилось на $$3$$:

$$2n+5\equiv 0 \pmod 3.$$

Так как $$2\equiv -1 \pmod 3$$ и $$5\equiv 2 \pmod 3$$, получаем:

$$-n+2\equiv 0 \pmod 3,$$

то есть

$$n\equiv 2 \pmod 3.$$

Кроме того, $$n\neq 9$$.

Следовательно, подходят все целые числа вида $$n=3k+2$$, кроме $$n=9$$. Это можно записать так:

$$n=3k+2,\quad k\in \mathbb{Z},\quad k\neq 2.$$

Проверим первые значения: $$n=2,5,8,11,\dots$$; число $$9$$ не подходит, так как при нем знаменатель равен нулю.

Ответ

$$n=3k+2,\ k\in\mathbb{Z},\ k\neq 2.$$