Упр.296 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 296. При каких целых значениях n выражение (3n2-7n+17)/(n+4) является натуральным числом? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 296 1012

Разделим числитель на знаменатель:

$$ 3n^2-7n+17=(n+4)(3n-19)+93. $$

Тогда

$$ \frac{3n^2-7n+17}{n+4}=3n-19+\frac{93}{n+4}. $$

Чтобы выражение было натуральным числом, дробь $$\frac{93}{n+4}$$ должна быть целым числом. Значит, $$n+4$$ — делитель числа $$93$$.

Так как $$93=3\cdot 31$$, его целые делители:

$$\pm1,\ \pm3,\ \pm31,\ \pm93.$$

Отсюда

$$ n+4=\pm1,\ \pm3,\ \pm31,\ \pm93. $$

Находим целые значения $$n$$:

$$ n=-3,\ -1,\ 27,\ 89,\ -5,\ -7,\ -35,\ -97. $$

Проверим, при каких из них значение дроби натуральное. Подходят только те, при которых результат положителен:

$$ n=-3,\ -1,\ 27,\ 89. $$

Ответ

$$-3;\ -1;\ 27;\ 89.$$