Упр.294 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) Р(х) = х5 + 4х4 + х2 + 3, Q(x) = x2 + 6x + 8;
2) Р(х) = х8 — 4×6 + 3х3 — х, Q(x) = х2 — 4.

1. Найдём остаток при делении $$P(x)=x^5+4x^4+x^2+3$$ на $$Q(x)=x^2+6x+8.$$

   Так как $$Q(x)=(x+2)(x+4),$$ то остаток имеет вид $$R(x)=ax+b.$$

   Для корней многочлена $$Q(x)$$ выполняется:

   $$ P(-4)=R(-4), \qquad P(-2)=R(-2). $$

   $$ P(-4)=-1024+1024+16+3=19, $$
   $$ P(-2)=-32+64+4+3=39. $$

   Составим систему:

   $$ -4a+b=19, $$
   $$ -2a+b=39. $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ 2a=20,\qquad a=10. $$

   Тогда

   $$ -2\cdot 10+b=39,\qquad b=59. $$

   Следовательно, остаток:

   $$ R(x)=10x+59. $$

2. Найдём остаток при делении $$P(x)=x^8-4x^6+3x^3-x$$ на $$Q(x)=x^2-4.$$

   Так как $$Q(x)=(x-2)(x+2),$$ остаток имеет вид $$R(x)=ax+b.$$

   Подставим корни многочлена $$Q(x)$$:

   $$ P(2)=R(2), \qquad P(-2)=R(-2). $$

   $$ P(2)=256-256+24-2=22, $$
   $$ P(-2)=256-256-24+2=-22. $$

   Получаем систему:

   $$ 2a+b=22, $$
   $$ -2a+b=-22. $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$ 4a=44,\qquad a=11. $$

   Тогда

   $$ 2\cdot 11+b=22,\qquad b=0. $$

   Следовательно, остаток:

   $$ R(x)=11x. $$

Ответ

1) $$10x+59$$; 2) $$11x$$.