Упр.293 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) Р(х) = х7 + х6 — 6×5 + x2 — 5x, Q(x) = х2 + х — 6;
2) Р(х) = х5 — 2х4 + х3 + х — 2, Q(x) = х2 — 4.

1. При делении на $$Q(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$ остаток имеет вид $$R(x)=ax+b$$.

   Тогда для корней делителя $$x=2$$ и $$x=-3$$ выполняется:

   $$ P(2)=2a+b,\qquad P(-3)=-3a+b. $$

   Вычислим значения многочлена:

   $$ P(2)=2^7+2^6-6\cdot 2^5+2^2-5\cdot 2=128+64-192+4-10=-6, $$

   $$ P(-3)=(-3)^7+(-3)^6-6(-3)^5+(-3)^2-5(-3)=-2187+729+1458+9+15=24. $$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 2a+b=-6,\\ -3a+b=24. \end{cases} $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ -5a=30,\qquad a=-6. $$

   Тогда

   $$ 2(-6)+b=-6,\qquad b=6. $$

   Значит, остаток равен $$-6x+6$$.

2. При делении на $$Q(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$$ остаток имеет вид $$R(x)=ax+b$$.

   Тогда:

   $$ P(2)=2a+b,\qquad P(-2)=-2a+b. $$

   Вычислим значения многочлена:

   $$ P(2)=2^5-2\cdot 2^4+2^3+2-2=32-32+8+2-2=8, $$

   $$ P(-2)=(-2)^5-2(-2)^4+(-2)^3+(-2)-2=-32-32-8-2-2=-76. $$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 2a+b=8,\\ -2a+b=-76. \end{cases} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$ 4a=84,\qquad a=21. $$

   Тогда

   $$ 2\cdot 21+b=8,\qquad b=-34. $$

   Значит, остаток равен $$21x-34$$.

Ответ

1) $$-6x+6$$; 2) $$21x-34$$.