Упр.292 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Выяснить, при каком значении $$a$$ многочлен $$P(x)$$ делится на многочлен $$Q(x)$$:
   1) $$P(x)=6x^2+7x+a$$, $$Q(x)=2x+3$$;
   2) $$P(x)=x^6+x^5-4x^4-4x^3+ax^2+4x+a$$, $$Q(x)=x+1$$;
   3) $$P(x)=x^3+ax^2+ax-15$$, $$Q(x)=x-3$$;
   4) $$P(x)=-4x^2+ax+5$$, $$Q(x)=4x+5$$.

1. Если многочлен $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=2x+3$$, то $$P(x)=(3x-b)(2x+3)$$.

   $$P(x)=(3x-b)(2x+3)=6x^2+9x-2bx-3b=6x^2+(9-2b)x-3b.$$

   Сравниваем коэффициенты с $$6x^2+7x+a$$:
   $$9-2b=7,\quad b=1,$$
   $$a=-3b=-3.$$

2. Так как $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=x+1$$, то $$P(x)=(x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+k)(x+1)$$.

   При раскрытии скобок получаем:
   $$P(x)=x^6+(b+1)x^5+(b+c)x^4+(c+d)x^3+(d+e)x^2+(e+k)x+k.$$

   Сравниваем с $$x^6+x^5-4x^4-4x^3+ax^2+4x+a$$:
   $$b+1=1,\quad b=0;$$
   $$b+c=-4,\quad c=-4;$$
   $$c+d=-4,\quad d=0;$$
   $$d+e=a,\quad e=a;$$
   $$e+k=4,\quad k=4-a;$$
   $$k=a.$$
   Тогда $$4-a=a$$, откуда $$a=2$$.

3. Если $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=x-3$$, то $$P(x)=(x^2+bx+c)(x-3)$$.

   $$P(x)=x^3+bx^2+cx-3x^2-3bx-3c =x^3+(b-3)x^2+(c-3b)x-3c.$$

   Сравниваем с $$x^3+ax^2+ax-15$$:
   $$-3c=-15,\quad c=5;$$
   $$c-3b=a,\quad a=5-3b;$$
   $$b-3=a.$$
   Тогда
   $$5-3b=b-3,\quad 4b=8,\quad b=2.$$
   Следовательно,
   $$a=5-3\cdot 2=-1.$$

4. Пусть $$P(x)=(-x+b)(4x+5)$$.

   $$P(x)=-4x^2-5x+4bx+5b=-4x^2+(4b-5)x+5b.$$

   Сравниваем с $$-4x^2+ax+5$$:
   $$5b=5,\quad b=1;$$
   $$a=4b-5=4\cdot 1-5=-1.$$

Ответ

1) $$-3$$; 2) $$2$$; 3) $$-1$$; 4) $$-1$$.