Упр.292 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) Р(х) = 6х2 + 7х + a, Q(x) = 2x + 3;
2) Р(х) — x6 + х5 — 4×4 — 4×3 + ах2 + 4x + а, Q(x) = х + 1;
3) Р(х) = x3 + ах2 + ах — 15, Q(x) = х — 3;
4) Р(х) = -4х2 + ах + 5, Q(x) = 4х + 5.

Подробный ответ

Если многочлен $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=2x+3$$, то $$P(x)=(3x-b)(2x+3)$$.
$$P(x)=(3x-b)(2x+3)=6x^2+9x-2bx-3b=6x^2+(9-2b)x-3b.$$
Сравниваем коэффициенты с $$6x^2+7x+a$$:
$$9-2b=7,\quad b=1,$$
$$a=-3b=-3.$$
Так как $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=x+1$$, то $$P(x)=(x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+k)(x+1)$$.
При раскрытии скобок получаем:
$$ P(x)=x^6+(b+1)x^5+(b+c)x^4+(c+d)x^3+(d+e)x^2+(e+k)x+k. $$
Сравниваем с $$x^6+x^5-4x^4-4x^3+ax^2+4x+a$$:
$$ b+1=1,\quad b=0; $$
$$ b+c=-4,\quad c=-4; $$
$$ c+d=-4,\quad d=0; $$
$$ d+e=a,\quad e=a; $$
$$ e+k=4,\quad k=4-a; $$
$$ k=a. $$
Тогда $$4-a=a$$, откуда $$a=2$$.
Если $$P(x)$$ делится на $$Q(x)=x-3$$, то $$P(x)=(x^2+bx+c)(x-3)$$.
$$ P(x)=x^3+bx^2+cx-3x^2-3bx-3c =x^3+(b-3)x^2+(c-3b)x-3c. $$
Сравниваем с $$x^3+ax^2+ax-15$$:
$$ -3c=-15,\quad c=5; $$
$$ c-3b=a,\quad a=5-3b; $$
$$ b-3=a. $$
Тогда
$$ 5-3b=b-3,\quad 4b=8,\quad b=2. $$
Следовательно,
$$ a=5-3\cdot 2=-1. $$
Пусть $$P(x)=(-x+b)(4x+5)$$.
$$ P(x)=-4x^2-5x+4bx+5b=-4x^2+(4b-5)x+5b. $$
Сравниваем с $$-4x^2+ax+5$$:
$$ 5b=5,\quad b=1; $$
$$ a=4b-5=4\cdot 1-5=-1. $$