Упр.285 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 285. В прямоугольном треугольнике длины сторон выражены натуральными взаимно простыми числами. Доказать, что длина гипотенузы выражена нечётным числом, а длины катетов — числами разной чётности. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 285 1012
Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда
$$c^2=a^2+b^2,$$
причём числа $$a,b,c$$ — натуральные и взаимно простые.
Рассмотрим возможные случаи.
Если $$c$$ — чётное число, то $$c^2$$ делится на $$4$$. Но тогда из равенства $$c^2=a^2+b^2$$ следует, что сумма $$a^2+b^2$$ тоже делится на $$4$$. Это невозможно, так как при взаимной простоте катетов они не могут быть одновременно чётными, а при нечётных $$a$$ и $$b$$ имеем
$$a^2\equiv 1 \pmod{4}, \quad b^2\equiv 1 \pmod{4},$$
откуда
$$a^2+b^2\equiv 2 \pmod{4},$$
что противоречит делимости $$c^2$$ на $$4$$.
Если бы оба катета были нечётными, то
$$a^2\equiv 1 \pmod{4}, \quad b^2\equiv 1 \pmod{4},$$
и тогда
$$a^2+b^2\equiv 2 \pmod{4}.$$
Но квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$4$$. Значит, оба катета нечётными быть не могут.
Остаётся случай, когда один катет чётный, а другой нечётный. Тогда сумма их квадратов нечётна, значит, и $$c^2$$ нечётно, следовательно, $$c$$ — нечётное число.
Итак, гипотенуза выражена нечётным числом, а катеты имеют разную чётность.
Ответ
Гипотенуза $$c$$ — нечётное число, катеты $$a$$ и $$b$$ — числа разной чётности.
