Упр.284 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Найти все целочисленные решения уравнения:

1. $$x^2=y^2+4y+8$$;
2. $$x^3-3x^2-xy-8x-2y+27=0$$;
3. $$3xy+16x+13y+61=0$$;
4. $$3xy-10x+16y-45=0$$.

1. $$x^2=y^2+4y+8$$

   Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

   $$x^2-y^2-4y-8=0$$

   $$x^2-y^2-4y-4=4$$

   $$x^2-(y+2)^2=4$$

   $$\bigl(x-y-2\bigr)\bigl(x+y+2\bigr)=4$$

   Так как числа целые, рассматриваем делители числа $$4$$:

   $$\begin{cases} x-y-2=4 \\ x+y+2=1 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=-2$$

   $$\begin{cases} x-y-2=-4 \\ x+y+2=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-2,\ y=-2$$

2. $$x^3-3x^2-xy-8x-2y+27=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$x^3+2x^2-xy-2y-5x^2-10x+2x+4=-23$$

   $$x^2(x+2)-y(x+2)-5x(x+2)+2(x+2)=-23$$

   $$\bigl(x+2\bigr)\bigl(x^2-y-5x+2\bigr)=-23$$

   Так как $$-23$$ — простое число, получаем пары делителей:

   $$\begin{cases} x+2=23 \\ x^2-y-5x+2=-1 \end{cases} \Rightarrow x=21,\ y=339$$

   $$\begin{cases} x+2=-23 \\ x^2-y-5x+2=1 \end{cases} \Rightarrow x=-25,\ y=751$$

   $$\begin{cases} x+2=1 \\ x^2-y-5x+2=-23 \end{cases} \Rightarrow x=-1,\ y=31$$

   $$\begin{cases} x+2=-1 \\ x^2-y-5x+2=23 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=3$$

3. $$3xy+16x+13y+61=0$$

   Умножим на $$3$$ и добавим $$48x+39y+183$$:

   $$9xy+48x+39y+183=0$$

   $$3y(3x+13)+16(3x+13)=25$$

   $$\bigl(3x+13\bigr)\bigl(3y+16\bigr)=25$$

   Рассматриваем делители числа $$25$$:

   $$\begin{cases} 3x+13=1 \\ 3y+16=25 \end{cases} \Rightarrow x=-4,\ y=3$$

   $$\begin{cases} 3x+13=25 \\ 3y+16=1 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=-5$$

   $$\begin{cases} 3x+13=-5 \\ 3y+16=-5 \end{cases} \Rightarrow x=-6,\ y=-7$$

4. $$3xy-10x+16y-45=0$$

   Умножим на $$3$$ и добавим $$25$$:

   $$9xy-30x+48y-135=0$$

   $$3x(3y-10)+16(3y-10)=-25$$

   $$\bigl(3x+16\bigr)\bigl(3y-10\bigr)=-25$$

   Рассматриваем делители числа $$-25$$:

   $$\begin{cases} 3x+16=1 \\ 3y-10=-25 \end{cases} \Rightarrow x=-5,\ y=-5$$

   $$\begin{cases} 3x+16=25 \\ 3y-10=-1 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=3$$

   $$\begin{cases} 3x+16=-5 \\ 3y-10=5 \end{cases} \Rightarrow x=-7,\ y=5$$

Ответ

1) $$(2;\,-2),\ (-2;\,-2)$$

2) $$(21;\,339),\ (-25;\,751),\ (-1;\,31),\ (-3;\,3)$$

3) $$(-4;\,3),\ (4;\,-5),\ (-6;\,-7)$$

4) $$(-5;\,-5),\ (3;\,3),\ (-7;\,5)$$