Упр.284 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) х2 = у2 + 4у + 8;
2) х3 — 3х2 — ху — 8x — 2у + 27 = 0;
3) 3ху + 16x + 13у + 61 = 0;
4) 3ху — 10х + 16у — 45 = 0.

Подробный ответ

$$x^2=y^2+4y+8$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:
$$x^2-y^2-4y-8=0$$
$$x^2-y^2-4y-4=4$$
$$x^2-(y+2)^2=4$$
$$\bigl(x-y-2\bigr)\bigl(x+y+2\bigr)=4$$
Так как числа целые, рассматриваем делители числа $4$:
$$ \begin{cases} x-y-2=4 \\ x+y+2=1 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=-2 $$
$$ \begin{cases} x-y-2=-4 \\ x+y+2=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-2,\ y=-2 $$
$$x^3-3x^2-xy-8x-2y+27=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^3+2x^2-xy-2y-5x^2-10x+2x+4=-23$$
$$x^2(x+2)-y(x+2)-5x(x+2)+2(x+2)=-23$$
$$\bigl(x+2\bigr)\bigl(x^2-y-5x+2\bigr)=-23$$
Так как $-23$ — простое число, получаем пары делителей:
$$ \begin{cases} x+2=23 \\ x^2-y-5x+2=-1 \end{cases} \Rightarrow x=21,\ y=339 $$
$$ \begin{cases} x+2=-23 \\ x^2-y-5x+2=1 \end{cases} \Rightarrow x=-25,\ y=751 $$
$$ \begin{cases} x+2=1 \\ x^2-y-5x+2=-23 \end{cases} \Rightarrow x=-1,\ y=31 $$
$$ \begin{cases} x+2=-1 \\ x^2-y-5x+2=23 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=3 $$
$$3xy+16x+13y+61=0$$
Умножим на $3$ и добавим $48x+39y+183$:
$$9xy+48x+39y+183=0$$
$$3y(3x+13)+16(3x+13)=25$$
$$\bigl(3x+13\bigr)\bigl(3y+16\bigr)=25$$
Рассматриваем делители числа $25$:
$$ \begin{cases} 3x+13=1 \\ 3y+16=25 \end{cases} \Rightarrow x=-4,\ y=3 $$
$$ \begin{cases} 3x+13=25 \\ 3y+16=1 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=-5 $$
$$ \begin{cases} 3x+13=-5 \\ 3y+16=-5 \end{cases} \Rightarrow x=-6,\ y=-7 $$
$$3xy-10x+16y-45=0$$
Умножим на $3$ и добавим $25$:
$$9xy-30x+48y-135=0$$
$$3x(3y-10)+16(3y-10)=-25$$
$$\bigl(3x+16\bigr)\bigl(3y-10\bigr)=-25$$
Рассматриваем делители числа $-25$:
$$ \begin{cases} 3x+16=1 \\ 3y-10=-25 \end{cases} \Rightarrow x=-5,\ y=-5 $$
$$ \begin{cases} 3x+16=25 \\ 3y-10=-1 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=3 $$
$$ \begin{cases} 3x+16=-5 \\ 3y-10=5 \end{cases} \Rightarrow x=-7,\ y=5 $$