Упр.283 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) a=(n2+2)/(n-1);
2) a=(2n2+1)/(2n2-1);
3) a=(n4+3n2+7)/(n2+1);
4) a=(n5+3)/(n2+1).

Подробный ответ

$$a=\frac{n^2+2}{n-1}=\frac{(n-1)^2+2(n-1)+3}{n-1}=n-1+2+\frac{3}{n-1}.$$
Чтобы $$a$$ было целым, число $$\frac{3}{n-1}$$ должно быть целым. Значит, $$n-1$$ — делитель числа $$3$$:
$$n-1=\pm 1,\ \pm 3.$$
Отсюда
$$n=0,\ 2,\ -2,\ 4.$$
$$a=\frac{2n^2+1}{2n^2-1}=\frac{2n^2-1+2}{2n^2-1}=1+\frac{2}{2n^2-1}.$$
Чтобы $$a$$ было целым, нужно, чтобы $$2n^2-1$$ делило число $$2$$. Тогда
$$2n^2-1=\pm 1,\ \pm 2.$$
Но $$2n^2-1$$ — нечётное число, значит, возможно только
$$2n^2-1=\pm 1.$$
Получаем:
$$2n^2-1=1 \Rightarrow n^2=1 \Rightarrow n=\pm 1,$$
$$2n^2-1=-1 \Rightarrow n=0.$$
$$a=\frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}=\frac{(n^2+1)^2+(n^2+1)+5}{n^2+1}=n^2+2+\frac{5}{n^2+1}.$$
Чтобы $$a$$ было целым, число $$n^2+1$$ должно делить $$5$$. Так как $$n^2+1>0$$, имеем
$$n^2+1=1 \text{ или } 5.$$
Из $$n^2+1=1$$ получаем $$n=0$$, а из $$n^2+1=5$$ получаем $$n^2=4$$, значит,
$$n=\pm 2.$$
$$a=\frac{n^5+3}{n^2+1}=\frac{n(n^4+2n^2+1)-2n(n^2+1)+n+3}{n^2+1}.$$
Тогда
$$a=n(n^2+1)-2n+\frac{n+3}{n^2+1}.$$
Чтобы $$a$$ было целым, нужно, чтобы
$$\frac{n+3}{n^2+1}$$ было целым, то есть
$$n^2+1 \mid n+3.$$
При $$|n|\ge 3$$ имеем $$n^2+1>|n+3|$$, значит, возможны только значения $$n=-3,-2,-1,0,1,2.$$ Проверим их:
$$n=-3:\ \frac{n+3}{n^2+1}=0;$$
$$n=-1:\ \frac{n+3}{n^2+1}=1;$$
$$n=0:\ \frac{n+3}{n^2+1}=3;$$
$$n=1:\ \frac{n+3}{n^2+1}=2;$$
$$n=2:\ \frac{n+3}{n^2+1}=1.$$
Все эти значения подходят, значит,
$$n=-3,-1,0,1,2.$$