Упр.282 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 282. Доказать, что число n5 — 6n делится на 5 при любом n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 282 1012
Преобразуем выражение:
$$n^5-6n=n^5-n-5n=n(n^4-1)-5n.$$
Разложим разность квадратов:
$$n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)(n+1)(n^2+1).$$
Тогда
$$n^5-6n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)-5n.$$
Рассмотрим возможные остатки числа $n$ при делении на $5$.
Если $$n=5k,$$ то
$$n^5-6n=5k\bigl((5k)^4-6\bigr),$$
значит, число делится на $5$.
Если $$n=5k+1,$$ то
$$n^5-6n=(5k+1)^5-6(5k+1).$$
По модулю $5$ имеем $$n^5-6n\equiv 1^5-6\cdot 1\equiv 1-1\equiv 0 \pmod 5,$$
следовательно, выражение делится на $5$.
Если $$n=5k+2,$$ то
$$n^5-6n\equiv 2^5-6\cdot 2\equiv 32-12\equiv 0 \pmod 5.$$
Если $$n=5k+3,$$ то
$$n^5-6n\equiv 3^5-6\cdot 3\equiv 243-18\equiv 0 \pmod 5.$$
Если $$n=5k+4,$$ то
$$n^5-6n\equiv 4^5-6\cdot 4\equiv 1024-24\equiv 0 \pmod 5.$$
Во всех случаях число $$n^5-6n$$ делится на $5$.
Ответ
$$n^5-6n$$ делится на $5$ при любом $$n\in \mathbb{N}.$$
