Упр.281 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 28Д Пусть m и n — натуральные числа, такие, что число m + n + 2 делится на 6. Доказать, что число m3 + n3 + 8 также делится на 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 281 1012

Подробный ответ

Так как $$m+n+2$$ делится на $$6$$, то существует натуральное число $$k$$ такое, что

$$m+n+2=6k.$$

Рассмотрим куб суммы:

$$ (m+n+2)^3=m^3+3m^2(n+2)+3m(n+2)^2+(n+2)^3. $$

Раскроем скобки:

$$ (m+n+2)^3=m^3+3m^2n+6m^2+3mn^2+12mn+12m+n^3+6n^2+12n+8. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (m+n+2)^3=(m^3+n^3+8)+3mn(m+n)+6(m^2+n^2)+12(mn+m+n). $$

Левая часть делится на $$6$$, так как $$m+n+2$$ делится на $$6$$. Все слагаемые, кроме $$m^3+n^3+8$$, также делятся на $$6$$:

$$ 3mn(m+n)=3mn\bigl((m+n+2)-2\bigr) $$

и поскольку $$m+n+2$$ кратно $$6$$, то $$m+n$$ чётно и кратно $$3$$, значит $$3mn(m+n)$$ делится на $$6$$. Кроме того, $$6(m^2+n^2)$$ и $$12(mn+m+n)$$ делятся на $$6$$.

Следовательно, и разность

$$ (m^3+n^3+8)=(m+n+2)^3-3mn(m+n)-6(m^2+n^2)-12(mn+m+n) $$

делится на $$6$$.