Упр.279 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) а = 10^245+ 123456789, m = 11;
2) а = 7 * 2^25 + 13 * 14^9, m = 5.

1. Найдём остаток от деления числа $$10^{245}+123456789$$ на $$11$$.

   Так как $$10 \equiv -1 \pmod{11}$$, то

   $$10^{245} \equiv (-1)^{245} = -1 \pmod{11}.$$

   Теперь найдём остаток числа $$123456789$$ при делении на $$11$$. Используем признак делимости на $$11$$:

   $$1+3+5+7+9=25,\quad 2+4+6+8=20,\quad 25-20=5.$$

   Значит,

   $$123456789 \equiv 5 \pmod{11}.$$

   Тогда

   $$a \equiv -1+5=4 \pmod{11}.$$

2. Найдём остаток от деления числа $$7\cdot 2^{25}+13\cdot 14^9$$ на $$5$$.

   Сначала приведём множители по модулю $$5$$:

   $$7 \equiv 2 \pmod{5}, \quad 2^2=4 \equiv -1 \pmod{5}, \quad 13 \equiv -2 \pmod{5}, \quad 14 \equiv -1 \pmod{5}.$$

   Тогда

   $$7\cdot 2^{25} \equiv 2\cdot 2^{25}=2^{26}=(2^2)^{13}\equiv (-1)^{13}=-1 \pmod{5},$$

   $$13\cdot 14^9 \equiv (-2)\cdot (-1)^9 = 2 \pmod{5}.$$

   Следовательно,

   $$a \equiv -1+2=1 \pmod{5}.$$

Ответ

1) $$4$$; 2) $$1$$.