Упр.277 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 13х2 + 1 = Зу2;
2) 9х2 = у2+ 74.

1. Рассмотрим уравнение $$13x^2+1=3y^2.$$

   Сравним обе части по модулю $$3$$. Так как $$13\equiv 1 \pmod 3$$, то

   $$13x^2+1\equiv x^2+1 \pmod 3.$$

   Квадрат целого числа по модулю $$3$$ может давать только $$0$$ или $$1$$. Значит,

   $$x^2+1\equiv 1 \text{ или } 2 \pmod 3.$$

   Правая часть уравнения делится на $$3$$, поэтому

   $$3y^2\equiv 0 \pmod 3.$$

   Получаем противоречие: левая часть не может быть сравнима с $$0 \pmod 3$$. Следовательно, целых решений нет.

2. Рассмотрим уравнение $$9x^2=y^2+74.$$

   Сравним обе части по модулю $$4$$. Так как $$9\equiv 1 \pmod 4$$, то

   $$9x^2\equiv x^2 \pmod 4.$$

   Квадрат целого числа по модулю $$4$$ может быть только $$0$$ или $$1$$. Значит,

   $$9x^2\equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 4.$$

   С другой стороны, $$74\equiv 2 \pmod 4$$, поэтому

   $$y^2+74\equiv y^2+2 \pmod 4.$$

   Так как $$y^2\equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 4$$, то

   $$y^2+74\equiv 2 \text{ или } 3 \pmod 4.$$

   Но тогда левая и правая части не могут быть равны по модулю $$4$$. Противоречие. Следовательно, целых решений нет.

Ответ

1) Целых решений нет. 2) Целых решений нет.