Упр.275 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 275. Доказать, что если целое число m — 1 делится на 9, то число m3 — 1 делится на 27. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 275 1012

Пусть $$m-1$$ делится на $$9$$. Тогда существует целое число $$k$$ такое, что

$$m-1=9k,$$

откуда

$$m=9k+1.$$

Рассмотрим выражение $$m^3-1$$:

$$m^3-1=(m-1)(m^2+m+1).$$

Подставим $$m=9k+1$$:

$$m^2+m+1=(9k+1)^2+(9k+1)+1$$

$$=81k^2+18k+1+9k+1+1$$

$$=81k^2+27k+3=27(3k^2+k)+3.$$

Тогда

$$m^3-1=9k(81k^2+27k+3)=27k(27k^2+9k+1).$$

Следовательно, $$m^3-1$$ делится на $$27$$.

Ответ

Если $$m-1$$ делится на $$9$$, то $$m^3-1$$ делится на $$27$$.