Упр.274 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 274. Доказать, что при любых натуральных m и n число (3m + + 5n + 7)3(7m + n + 2)4 делится на 8. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 274 1012

Обозначим

$$a=(3m+5n+7)^3(7m+n+2)^4.$$

Рассмотрим чётность множителей.

$$3m+5n+7 \equiv m+n+1 \pmod 2,$$

$$7m+n+2 \equiv m+n \pmod 2.$$

Если $m$ и $n$ одной чётности, то $m+n$ чётно, значит

$$7m+n+2 \equiv 0 \pmod 2,$$

а тогда

$$a=(3m+5n+7)^3(7m+n+2)^4 \equiv 0 \pmod 8,$$

так как четвёртая степень чётного числа делится на $8$.

Если $m$ и $n$ разной чётности, то $m+n$ нечётно, значит

$$3m+5n+7 \equiv 0 \pmod 2.$$

Тогда куб чётного числа делится на $8$, и снова получаем

$$a \equiv 0 \pmod 8.$$

Следовательно, при любых натуральных $m$ и $n$ число $$(3m+5n+7)^3(7m+n+2)^4$$ делится на $8$.

Ответ

$$ (3m+5n+7)^3(7m+n+2)^4 \text{ делится на } 8. $$