Упр.273 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 273. Доказать, что число 11n3 + n делится на 6 при любом n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 273 1012

Рассмотрим число $$11n^3+n.$$

Вынесем общий множитель:

$$11n^3+n=n(11n^2+1).$$

Докажем делимость на $$2$$ и на $$3$$.

1) Делимость на $$2$$.

Если $$n$$ чётное, то произведение $$n(11n^2+1)$$ делится на $$2$$.

Если $$n$$ нечётное, то $$n^2$$ тоже нечётно, значит $$11n^2+1$$ — чётное число. Тогда произведение снова делится на $$2$$.

Следовательно, $$11n^3+n$$ делится на $$2$$ при любом $$n\in\mathbb N$$.

2) Делимость на $$3$$.

Если $$n$$ делится на $$3$$, то и $$11n^3+n$$ делится на $$3$$.

Если $$n$$ не делится на $$3$$, то возможны остатки $$1$$ или $$2$$:

$$n=3k+1 \quad \text{или} \quad n=3k+2.$$

Тогда по модулю $$3$$:

$$11n^3+n \equiv 2n^3+n \pmod 3.$$

При $$n\equiv 1 \pmod 3$$ имеем

$$2\cdot 1^3+1=3,$$

а при $$n\equiv 2 \pmod 3$$:

$$2\cdot 2^3+2=18.$$

В обоих случаях число делится на $$3$$.

Значит, $$11n^3+n$$ делится на $$2$$ и на $$3$$, а так как $$2$$ и $$3$$ взаимно просты, то оно делится на $$6$$.

Ответ

$$11n^3+n$$ делится на $$6$$ при любом $$n\in\mathbb N$$.