Упр.272 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 272. Доказать, что число n3 + 3n2 + 8n + 82 не делится на 3 ни при каком n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 272 1012

Рассмотрим число

$$a=n^3+3n^2+8n+82.$$

Преобразуем его:

$$a=n(n^2+3n+2)+6n+82.$$

Так как

$$n^2+3n+2=(n+1)(n+2),$$

то

$$a=n(n+1)(n+2)+6n+82.$$

Произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на $$3$$, значит

$$n(n+1)(n+2)\equiv 0 \pmod 3.$$

Кроме того,

$$82\equiv 1 \pmod 3.$$

Следовательно,

$$a\equiv 0+6n+1 \equiv 1 \pmod 3,$$

так как $$6n$$ делится на $$3$$ при любом $$n\in \mathbb N$$.

Значит, число $$a$$ при любом натуральном $$n$$ даёт остаток $$1$$ при делении на $$3$$, то есть на $$3$$ не делится.

Ответ

$$n^3+3n^2+8n+82$$ не делится на $$3$$ ни при каком $$n\in\mathbb N$$.