Упр.271 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 271. Доказать, что число 13n2 + 1 не делится на 3 ни при каком n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 271 1012
Рассмотрим число $$13n^2+1$$ по модулю $$3$$.
Так как любое натуральное число при делении на $$3$$ даёт один из остатков $$0,1,2$$, то достаточно проверить три случая.
Если $$n=3k$$, то
$$13n^2+1=13(3k)^2+1=13\cdot 9k^2+1=117k^2+1=3\cdot 39k^2+1.$$
При делении на $$3$$ получается остаток $$1$$.
Если $$n=3k+1$$, то
$$13n^2+1=13(3k+1)^2+1=13(9k^2+6k+1)+1$$
$$=117k^2+78k+13+1=3(39k^2+26k+4)+2.$$
При делении на $$3$$ получается остаток $$2$$.
Если $$n=3k+2$$, то
$$13n^2+1=13(3k+2)^2+1=13(9k^2+12k+4)+1$$
$$=117k^2+156k+52+1=3(39k^2+52k+17)+2.$$
При делении на $$3$$ снова получается остаток $$2$$.
Во всех возможных случаях число $$13n^2+1$$ при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$ или $$2$$, значит, на $$3$$ не делится ни при каком $$n\in \mathbb{N}$$.
Ответ
$$13n^2+1$$ не делится на $$3$$ ни при каком $$n\in \mathbb{N}$$.
