Упр.269 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) а = 25^10 + 7 * 5^18, m = 32;
2) а = 10^15 + 10^20 — 92, m = 18;
3) а = 86^7 — 12^5 — 38^6, m = 10.

1. $$a=25^{10}+7\cdot 5^{18}, \quad m=32.$$

   Представим $$25$$ как $$5^2$$:

   $$a=(5^2)^{10}+7\cdot 5^{18}=5^{20}+7\cdot 5^{18}=5^{18}(5^2+7).$$

   $$a=5^{18}\cdot 32,$$ значит, $$a$$ делится на $$32$$.

2. $$a=10^{15}+10^{20}-92, \quad m=18.$$

   Преобразуем выражение:

   $$a=(10^{15}-1)+(10^{20}-1)-90.$$

   Так как $$10^5-1$$ делится на $$9$$, то и $$10^{15}-1$$ делится на $$9$$. Аналогично $$10^{20}-1$$ делится на $$9$$.

   Кроме того, $$10^{15}\equiv 0 \pmod 2$$ и $$10^{20}\equiv 0 \pmod 2$$, значит

   $$10^{15}-1\equiv 1 \pmod 2,\qquad 10^{20}-1\equiv 1 \pmod 2.$$

   Следовательно,

   $$a=(10^{15}-1)+(10^{20}-1)-90 \equiv 0 \pmod 2,$$

   и одновременно $$a$$ делится на $$9$$. Значит, $$a$$ делится на $$18$$.

3. $$a=86^7-12^5-38^6, \quad m=10.$$

   Рассмотрим последние цифры оснований:

   $$86\equiv 6 \pmod{10}, \qquad 12\equiv 2 \pmod{10}, \qquad 38\equiv 8 \pmod{10}.$$

   Тогда

   $$86^7\equiv 6^7 \equiv 6 \pmod{10},$$

   $$12^5\equiv 2^5 \equiv 2 \pmod{10},$$

   $$38^6\equiv 8^6 \equiv 4 \pmod{10}.$$

   Следовательно,

   $$a\equiv 6-2-4\equiv 0 \pmod{10}.$$

   Значит, $$a$$ делится на $$10$$.

Ответ

1) $$a$$ делится на $$32$$; 2) $$a$$ делится на $$18$$; 3) $$a$$ делится на $$10$$.