Упр.267 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) Найти все целые положительные числа х, у, при которых является верным равенство 2х2 — ху — у2 + 2х + 7у = 28.

1. Преобразуем выражение:

   $$2x^2+5xy-12y^2=6$$

   $$2x^2-3xy+8xy-12y^2=6$$

   $$x(2x-3y)+4y(2x-3y)=6$$

   $$\left(x+4y\right)\left(2x-3y\right)=6$$

   Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, рассмотрим разложения числа $6$ на множители:

   $$6=1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2=6\cdot 1.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} x+4y=1,\\ 2x-3y=6 \end{cases} \quad \begin{cases} x+4y=2,\\ 2x-3y=3 \end{cases} \quad \begin{cases} x+4y=3,\\ 2x-3y=2 \end{cases} \quad \begin{cases} x+4y=6,\\ 2x-3y=1 \end{cases} $$

   Из первых трёх систем натуральных решений нет, а из последней:

   $$ \begin{cases} x+4y=6,\\ 2x-3y=1 \end{cases} \Rightarrow y=1,\ x=2. $$

2. Преобразуем выражение:

   $$2x^2-xy-y^2+2x+7y=28$$

   $$2x^2-2xy+6x+xy-y^2+3y-4x+4y-12=16$$

   $$2x(x-y+3)+y(x-y+3)-4(x-y+3)=16$$

   $$\left(2x+y-4\right)\left(x-y+3\right)=16.$$

   Так как $x$ и $y$ — целые положительные числа, рассмотрим разложения числа $16$ на множители:

   $$16=1\cdot 16=2\cdot 8=4\cdot 4=8\cdot 2=16\cdot 1.$$

   Проверка даёт положительные целые решения:

   $$ \begin{cases} 2x+y-4=16,\\ x-y+3=1 \end{cases} \Rightarrow x=6,\ y=8; $$

   $$ \begin{cases} 2x+y-4=4,\\ x-y+3=4 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=2. $$

Ответ

1) $$(2;\,1).$$

2) $$(6;\,8),\ (3;\,2).$$