Упр.266 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 3ху + 19х + 10у + 55 = 0;
3) x3 — 6х2 — ху + 13x + Зу + 7 = 0;
4) х3 -ху- 7х + 2у + 23 = 0.

1. $$3xy+10x-13y-35=0$$

   Перегруппируем и разложим на множители:

   $$9xy-39x+30y-105=0$$

   $$3y(3x-13)+10(3x-13)=-25$$

   $$\left(3x-13\right)\left(3y+10\right)=-25$$

   Так как $$-25$$ раскладывается на множители $$1\cdot(-25)$$, $$-1\cdot 25$$, $$5\cdot(-5)$$, получаем:

   $$ \begin{cases} 3x-13=1 \\ 3y+10=-25 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=-\frac{35}{3} $$

   Это нецелое решение, не подходит.

   $$ \begin{cases} 3x-13=-1 \\ 3y+10=25 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=5 $$

   $$ \begin{cases} 3x-13=-25 \\ 3y+10=1 \end{cases} \Rightarrow x=-4,\ y=-3 $$

   $$ \begin{cases} 3x-13=5 \\ 3y+10=-5 \end{cases} \Rightarrow x=6,\ y=-5 $$

2. $$3xy+19x+10y+55=0$$

   Умножим на $$3$$ и преобразуем:

   $$9xy+57x+30y+165=0$$

   $$9xy+30y+57x+190=25$$

   $$3y(3x+10)+19(3x+10)=25$$

   $$\left(3x+10\right)\left(3y+19\right)=25$$

   Рассматриваем разложения числа $$25$$:

   $$ \begin{cases} 3x+10=1 \\ 3y+19=25 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=2 $$

   $$ \begin{cases} 3x+10=25 \\ 3y+19=1 \end{cases} \Rightarrow x=5,\ y=-6 $$

   $$ \begin{cases} 3x+10=-1 \\ 3y+19=-25 \end{cases} \Rightarrow x=-\frac{11}{3},\ y=-\frac{44}{3} $$

   $$ \begin{cases} 3x+10=-25 \\ 3y+19=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-\frac{35}{3},\ y=-\frac{20}{3} $$

   $$ \begin{cases} 3x+10=-5 \\ 3y+19=-5 \end{cases} \Rightarrow x=-5,\ y=-8 $$

3. $$x^3-6x^2-xy+13x+3y+7=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$x^3-3x^2-xy+3y-3x^2+9x+4x-12+19=0$$

   $$x^2(x-3)-y(x-3)-3x(x-3)+4(x-3)=-19$$

   $$\left(x-3\right)\left(x^2-y-3x+4\right)=-19$$

   Так как $$-19$$ — простое число, рассматриваем пары множителей $$\pm1$$ и $$\pm19$$:

   $$ \begin{cases} x-3=19 \\ x^2-y-3x+4=-1 \end{cases} \Rightarrow x=22,\ y=423 $$

   $$ \begin{cases} x-3=-19 \\ x^2-y-3x+4=1 \end{cases} \Rightarrow x=-16,\ y=307 $$

   $$ \begin{cases} x-3=1 \\ x^2-y-3x+4=-19 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=27 $$

   $$ \begin{cases} x-3=-1 \\ x^2-y-3x+4=19 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=-17 $$

4. $$x^3-xy-7x+2y+23=0$$

   Преобразуем выражение:

   $$x^3-2x^2+2x^2-4x-xy+2y-3x+6+17=0$$

   $$x^2(x-2)+2x(x-2)-y(x-2)-3(x-2)=-17$$

   $$\left(x-2\right)\left(x^2+2x-y-3\right)=-17$$

   Рассматриваем делители числа $$17$$:

   $$ \begin{cases} x-2=17 \\ x^2+2x-y-3=-1 \end{cases} \Rightarrow x=19,\ y=397 $$

   $$ \begin{cases} x-2=-17 \\ x^2+2x-y-3=1 \end{cases} \Rightarrow x=-15,\ y=191 $$

   $$ \begin{cases} x-2=1 \\ x^2+2x-y-3=-17 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=29 $$

   $$ \begin{cases} x-2=-1 \\ x^2+2x-y-3=17 \end{cases} \Rightarrow x=1,\ y=-17 $$

Ответ

1) $$\left(4;5\right),\ \left(-4;-3\right),\ \left(6;-5\right)$$;

2) $$\left(-3;2\right),\ \left(5;-6\right),\ \left(-5;-8\right)$$;

3) $$\left(22;423\right),\ \left(-16;307\right),\ \left(4;27\right),\ \left(2;-17\right)$$;

4) $$\left(19;397\right),\ \left(-15;191\right),\ \left(3;29\right),\ \left(1;-17\right)$$.