Упр.265 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

265. 1) х2 — у2 = 21;
2) ху = 5 — х.

1) $$x^2-y^2=21$$

Разложим разность квадратов на множители:

$$ (x-y)(x+y)=21 $$

Так как $$21$$ — целое число, переберём его разложения на целые множители:

$$21=1\cdot 21=3\cdot 7=(-1)\cdot(-21)=(-3)\cdot(-7).$$

Получаем системы:

$$ \begin{cases} x-y=1\\ x+y=21 \end{cases} \Rightarrow x=11,\ y=10 $$

$$ \begin{cases} x-y=21\\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow x=11,\ y=-10 $$

$$ \begin{cases} x-y=3\\ x+y=7 \end{cases} \Rightarrow x=5,\ y=2 $$

$$ \begin{cases} x-y=7\\ x+y=3 \end{cases} \Rightarrow x=5,\ y=-2 $$

Аналогично для отрицательных множителей получаем ещё четыре решения:

$$(-5,-2),\ (-5,2),\ (-11,-10),\ (-11,10).$$

2) $$xy=5-x$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$x$$ за скобку:

$$xy+x=5$$

$$x(y+1)=5$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, число $$x$$ должно быть целым делителем числа $$5$$:

$$x=5,\ -5,\ 1,\ -1.$$

Тогда:

$$ \begin{cases} x=5\\ y+1=1 \end{cases} \Rightarrow y=0 $$

$$ \begin{cases} x=-5\\ y+1=-1 \end{cases} \Rightarrow y=-2 $$

$$ \begin{cases} x=1\\ y+1=5 \end{cases} \Rightarrow y=4 $$

$$ \begin{cases} x=-1\\ y+1=-5 \end{cases} \Rightarrow y=-6 $$

Ответ

1) $$ (5;2),\ (5;-2),\ (-5;-2),\ (-5;2),\ (11;10),\ (11;-10),\ (-11;-10),\ (-11;10) $$

2) $$ (5;0),\ (-5;-2),\ (1;4),\ (-1;-6) $$