Упр.264 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) Доказать, что уравнение 21х2 — 7у2 = 9 не имеет целочисленных решений.

1. Предположим, что уравнение $$x^2-y^2=30$$ имеет целочисленные решения. Тогда

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=30.$$

   Числа $$x-y$$ и $$x+y$$ имеют одинаковую чётность, так как их сумма $$2x$$ и разность $$2y$$ — чётные числа.

   Значит, оба множителя либо чётные, либо нечётные.

   Если оба множителя чётные, то их произведение делится на $$4$$. Но $$30$$ на $$4$$ не делится.

   Если оба множителя нечётные, то их произведение нечётно. Но $$30$$ — число чётное.

   Во всех случаях получаем противоречие. Следовательно, уравнение $$x^2-y^2=30$$ не имеет целочисленных решений.

2. Преобразуем уравнение:

   $$21x^2-7y^2=9,$$

   $$7(3x^2-y^2)=9,$$

   $$3x^2-y^2=\frac{9}{7}.$$

   Левая часть — целое число при целых $$x$$ и $$y$$, а правая часть $$\frac{9}{7}$$ не является целым числом. Противоречие.

   Значит, уравнение $$21x^2-7y^2=9$$ не имеет целочисленных решений.

Ответ

1) Целочисленных решений нет. 2) Целочисленных решений нет.