Упр.263 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Доказать, что уравнение $$15x+40y=17$$ не имеет целочисленных решений.
2. Найти все целочисленные решения уравнения $$4x-3y=11$$.

1) Рассмотрим уравнение $$15x+40y=17.$$

Левая часть при целых $$x$$ и $$y$$ делится на $$5$$, так как $$15$$ и $$40$$ делятся на $$5$$. Значит, и правая часть должна делиться на $$5$$. Но $$17$$ на $$5$$ не делится. Следовательно, уравнение не имеет целочисленных решений.

2) Решим уравнение $$4x-3y=11.$$

Подберём одно целочисленное решение: при $$x=11$$ и $$y=11$$ получаем

$$4\cdot 11-3\cdot 11=44-33=11.$$

Значит, $$x_0=11,\ y_0=11$$ — одно решение. Тогда все целочисленные решения имеют вид

$$x=11-3t,\qquad y=11-4t,\qquad t\in \mathbb{Z}.$$

Проверка:

$$4(11-3t)-3(11-4t)=44-12t-33+12t=11.$$

Ответ

1) Целочисленных решений нет.

2) $$x=11-3t,\ y=11-4t,\ t\in \mathbb{Z}.$$