Упр.262 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) З^3 * 23^8 + 5^8 * 2^14 делится на 13;
3) 125^24 — 1825 делится на 600;
4) 100^20 — 50 * 16^5 делится на 49;
5) 42^365 + 53^241 делится на 5;
6) 71^325 + 41^135 делится на 7.

1. $$28\cdot 20^{15}-10\cdot 18^{13}$$

   $$28\equiv 9 \pmod{19},\quad 20\equiv 1 \pmod{19},\quad 10\equiv 10 \pmod{19},\quad 18\equiv -1 \pmod{19}.$$

   Тогда

   $$28\cdot 20^{15}-10\cdot 18^{13}\equiv 9\cdot 1^{15}-10\cdot (-1)^{13}=9+10=19\equiv 0 \pmod{19}.$$

2. $$3^3\cdot 23^8+5^8\cdot 2^{14}$$

   $$3^3=27\equiv 1 \pmod{13},\quad 23\equiv 10 \pmod{13},\quad 5^2=25\equiv -1 \pmod{13},\quad 2^2=4.$$

   Кроме того,

   $$23^8\equiv 10^8 \pmod{13},\quad 5^8=(5^2)^4\equiv (-1)^4=1 \pmod{13},\quad 2^{14}=(2^2)^7=4^7.$$

   Удобнее заметить, что

   $$10^2=100\equiv 9 \pmod{13},\quad 10^4\equiv 9^2=81\equiv 3 \pmod{13},\quad 10^8\equiv 3^2=9 \pmod{13},$$

   а также

   $$2^{14}=2^{12}\cdot 2^2\equiv 1\cdot 4=4 \pmod{13}.$$

   Тогда

   $$3^3\cdot 23^8+5^8\cdot 2^{14}\equiv 1\cdot 9+1\cdot 4=13\equiv 0 \pmod{13}.$$

3. $$125^{24}-1825$$

   Проверим делимость на $$600=24\cdot 25$$.

   $$125\equiv 5 \pmod{24},\quad 125\equiv 25 \pmod{25}.$$

   Тогда

   $$125^{24}\equiv 5^{24}\equiv 1 \pmod{24},\qquad 125^{24}\equiv 25^{24}\equiv 0 \pmod{25}.$$

   Кроме того,

   $$1825\equiv 1 \pmod{24},\qquad 1825\equiv 0 \pmod{25}.$$

   Следовательно,

   $$125^{24}-1825\equiv 0 \pmod{24},\qquad 125^{24}-1825\equiv 0 \pmod{25}.$$

   Так как $$24$$ и $$25$$ взаимно просты, то число делится на $$600$$.

4. $$100^{20}-50\cdot 16^5$$

   $$100^{20}=(2^2\cdot 5^2)^{20}=2^{40}\cdot 5^{40},\qquad 50\cdot 16^5=2\cdot 5\cdot (2^4)^5=2^{21}\cdot 5.$$

   Удобнее вынести общий множитель:

   $$100^{20}-50\cdot 16^5=2^{20}\cdot 50^{20}-50\cdot 2^{20}=2^{20}(50^{20}-50).$$

   Так как

   $$50\equiv 1 \pmod{49},$$

   то

   $$50^{20}-50\equiv 1^{20}-1=0 \pmod{49}.$$

   Значит,

   $$100^{20}-50\cdot 16^5\equiv 0 \pmod{49}.$$

5. $$42^{365}+53^{241}$$

   $$42\equiv 2 \pmod{5},\quad 53\equiv 3 \pmod{5}.$$

   Тогда

   $$42^{365}+53^{241}\equiv 2^{365}+3^{241}\pmod{5}.$$

   Так как

   $$2^4\equiv 1 \pmod{5},\quad 3^4\equiv 1 \pmod{5},$$

   то

   $$2^{365}=2^{4\cdot 91+1}\equiv 2,\qquad 3^{241}=3^{4\cdot 60+1}\equiv 3 \pmod{5}.$$

   Следовательно,

   $$42^{365}+53^{241}\equiv 2+3=5\equiv 0 \pmod{5}.$$

6. $$71^{325}+41^{135}$$

   $$71\equiv 1 \pmod{7},\quad 41\equiv -1 \pmod{7}.$$

   Тогда

   $$71^{325}+41^{135}\equiv 1^{325}+(-1)^{135}=1-1=0 \pmod{7}.$$

Ответ

1) делится на $$19$$; 2) делится на $$13$$; 3) делится на $$600$$; 4) делится на $$49$$; 5) делится на $$5$$; 6) делится на $$7$$.