Упр.261 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 2^367 + 43 на 17;
3) 2^1995 + 5 * 10^3 на 3;
4) 2^76 + 3 * 10^18 на 9.

1. $$25^{26}+29^{26} \pmod 3$$

   $$25 \equiv 1 \pmod 3,\qquad 29 \equiv -1 \pmod 3$$

   Тогда

   $$25^{26}+29^{26}\equiv 1^{26}+(-1)^{26}=1+1=2 \pmod 3$$

   Остаток: $$2$$.

2. $$2^{367}+43 \pmod {17}$$

   $$2^4=16\equiv -1 \pmod {17},\qquad 43\equiv 9 \pmod {17}$$

   Тогда

   $$2^{367}=2^{4\cdot 91+3}=(2^4)^{91}\cdot 2^3\equiv (-1)^{91}\cdot 8\equiv -8 \equiv 9 \pmod {17}$$

   Следовательно,

   $$2^{367}+43\equiv 9+9=18\equiv 1 \pmod {17}$$

   Остаток: $$1$$.

3. $$2^{1995}+5\cdot 10^3 \pmod 3$$

   $$2\equiv -1 \pmod 3,\qquad 10\equiv 1 \pmod 3,\qquad 5\equiv 2 \pmod 3$$

   Тогда

   $$2^{1995}\equiv (-1)^{1995}=-1\equiv 2 \pmod 3$$

   и

   $$5\cdot 10^3\equiv 2\cdot 1^3=2 \pmod 3$$

   Значит,

   $$2^{1995}+5\cdot 10^3\equiv 2+2=4\equiv 1 \pmod 3$$

   Остаток: $$1$$.

4. $$2^{76}+3\cdot 10^{18} \pmod 9$$

   $$2^3=8\equiv -1 \pmod 9,\qquad 10\equiv 1 \pmod 9,\qquad 3\equiv 3 \pmod 9$$

   Тогда

   $$2^{76}=2^{3\cdot 25+1}=(2^3)^{25}\cdot 2\equiv (-1)^{25}\cdot 2\equiv -2\equiv 7 \pmod 9$$

   А

   $$3\cdot 10^{18}\equiv 3\cdot 1^{18}=3 \pmod 9$$

   Следовательно,

   $$2^{76}+3\cdot 10^{18}\equiv 7+3=10\equiv 1 \pmod 9$$

   Остаток: $$1$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$.