Упр.260 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 84^20+ 10119 делится на 17;
3) (75 * 39)10 + (94 * 58)15 делится на 19;
4) 10^327 + 56 делится на 11;
5) 4^15 + 233 делится на 3.

1. $$91 \equiv 1 \pmod{18}, \qquad 55 \equiv 1 \pmod{18}.$$

   Тогда

   $$91^{40}-55^{35}\equiv 1^{40}-1^{35}=0 \pmod{18}.$$

   Значит, число делится на $$18$$.

2. $$84 \equiv -1 \pmod{17}, \qquad 101 \equiv -1 \pmod{17}.$$

   Тогда

   $$84^{20}+101^{19}\equiv (-1)^{20}+(-1)^{19}=1-1=0 \pmod{17}.$$

   Значит, число делится на $$17$$.

3. $$75 \equiv -1 \pmod{19}, \qquad 39 \equiv 1 \pmod{19},$$

   $$94 \equiv -1 \pmod{19}, \qquad 58 \equiv 1 \pmod{19}.$$

   Следовательно,

   $$ (75\cdot 39)^{10}+(94\cdot 58)^{15}\equiv (-1\cdot 1)^{10}+(-1\cdot 1)^{15}=1-1=0 \pmod{19}.$$

   Значит, число делится на $$19$$.

4. $$10 \equiv -1 \pmod{11}, \qquad 56 \equiv 1 \pmod{11}.$$

   Тогда

   $$10^{327}+56\equiv (-1)^{327}+1=-1+1=0 \pmod{11}.$$

   Значит, число делится на $$11$$.

5. $$4 \equiv 1 \pmod{3}, \qquad 233 \equiv -1 \pmod{3}.$$

   Тогда

   $$4^{15}+233\equiv 1^{15}-1=1-1=0 \pmod{3}.$$

   Значит, число делится на $$3$$.

Ответ

Все данные числа делятся соответственно на $$18,\,17,\,19,\,11,\,3$$.