Упр.259 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) число 6^12-1 делится на 37;
2) число 2^48-1 делится на 65;
3) число 3^17 — 3 делится на 240;
4) число 10^12 +263 делится на 11;
5) число 10^24 — 298 делится на 99.

1. $$6^{12}-1=(6^6-1)(6^6+1).$$
   Так как
   $$6^6-1=(6^2-1)(6^4+6^2+1)=(6-1)(6+1)(6^4+6^2+1)=37(6^4+6^2+1),$$
   то
   $$6^{12}-1$$
   делится на $$37$$.

2. $$2^{48}-1=(2^{24}-1)(2^{24}+1)=(2^{12}-1)(2^{12}+1)(2^{24}+1).$$
   Далее
   $$2^{12}-1=(2^6-1)(2^6+1)=(2^3-1)(2^3+1)(2^6+1)=7\cdot 9\cdot(2^6+1),$$
   а значит
   $$2^{12}-1$$
   делится на $$63$$, и потому
   $$2^{48}-1$$
   делится на $$65$$, так как
   $$2^6-1=63$$ и
   $$2^6+1=65$$.
   Следовательно, $$2^{48}-1$$ делится на $$65$$.

3. $$3^{17}-3=3(3^{16}-1)=3(3^8-1)(3^8+1)=3(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1).$$
   Далее
   $$3^4-1=(3^2-1)(3^2+1)=8\cdot 10,$$
   поэтому
   $$3^{17}-3=3\cdot 80\,(3^4+1)(3^8+1)=240(3^4+1)(3^8+1).$$
   Значит, число $$3^{17}-3$$ делится на $$240$$.

4. $$10^{12}+263=10^{12}-1+264.$$
   Так как
   $$10^{12}-1=(10^6-1)(10^6+1)=(10^3-1)(10^3+1)(10^6+1),$$
   а
   $$10^3-1=999$$
   делится на $$11,$$ то и $$10^{12}-1$$ делится на $$11$$. Кроме того,
   $$264$$ делится на $$11$$. Следовательно,
   $$10^{12}+263$$ делится на $$11$$.

5. $$10^{24}-298=10^{24}-100-198.$$
   Так как $$198$$ делится на $$99,$$ достаточно доказать, что $$10^{24}-100$$ делится на $$99$$.
   Имеем
   $$10^{24}-100=100(10^{22}-1)=100\bigl((10^{11})^2-1\bigr)=100(10^{11}-1)(10^{11}+1).$$
   Число $$10^{11}-1=(10-1)(10^{10}+10^9+\dots+10+1)$$ делится на $$9$$, а
   $$10^{11}+1$$ делится на $$11$$, значит произведение делится на $$99$$. Следовательно, $$10^{24}-100$$ делится на $$99$$, а значит и
   $$10^{24}-298$$ делится на $$99$$.

Ответ

1) делится на $$37$$; 2) делится на $$65$$; 3) делится на $$240$$; 4) делится на $$11$$; 5) делится на $$99$$.