Упр.258 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 258. Доказать, что число n5 — n делится на 5 при любом n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 258 1012

Разложим выражение на множители:

$$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).$$

Рассмотрим число $$n$$ по модулю 5.

Если $$n=5k$$, то $$n$$ делится на 5.

Если $$n=5k+1$$, то

$$n-1=5k,$$

значит, делится на 5 множитель $$n-1$$.

Если $$n=5k+2$$, то

$$n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1),$$

значит, делится на 5 множитель $$n^2+1$$.

Если $$n=5k+3$$, то

$$n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+10=5(5k^2+6k+2),$$

значит, делится на 5 множитель $$n^2+1$$.

Если $$n=5k+4$$, то

$$n+1=5k+5=5(k+1),$$

значит, делится на 5 множитель $$n+1$$.

Итак, при любом натуральном $$n$$ среди множителей $$n,\; n-1,\; n+1,\; n^2+1$$ обязательно найдётся делящийся на 5. Следовательно, произведение

$$n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$

делится на 5, а значит, делится на 5 и число $$n^5-n$$.

Ответ

$$n^5-n$$ делится на 5 при любом $$n\in\mathbb{N}$$.