Упр.257 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

2) Доказать, что число 2n3 — 3n2 + n делится на 6 при любом n принадлежит N (n > 1).

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+5n+3=n^3+3n^2+2n+3n+3=n(n^2+3n+2)+3(n+1).$$

Разложим на множители:

$$n^2+3n+2=(n+1)(n+2),$$

тогда

$$n^3+3n^2+5n+3=n(n+1)(n+2)+3(n+1)=(n+1)(n^2+2n+3).$$

При любом $n \in \mathbb{N}$ число $(n+1)(n^2+2n+3)$ делится на $3$, так как среди трёх последовательных чисел $n$, $n+1$, $n+2$ одно обязательно делится на $3$, а значит и произведение $n(n+1)(n+2)$ делится на $3$; слагаемое $3(n+1)$ тоже делится на $3$. Следовательно, исходное число делится на $3$.

2) Преобразуем выражение:

$$2n^3-3n^2+n=2n^3-2n^2-n^2+n=2n^2(n-1)-n(n-1).$$

Вынесем общий множитель:

$$2n^3-3n^2+n=(n-1)(2n^2-n)=(n-1)n(2n-1).$$

Теперь рассмотрим делимость на $6$.

Произведение $(n-1)n$ делится на $2$, так как среди двух соседних чисел одно чётное.
Из трёх чисел $n-1$, $n$, $2n-1$ одно делится на $3$:
- если $n \equiv 0 \pmod 3$, то $n$ делится на $3$;
- если $n \equiv 1 \pmod 3$, то $n-1$ делится на $3$;
- если $n \equiv 2 \pmod 3$, то $2n-1 \equiv 4-1 \equiv 0 \pmod 3$.

Значит, произведение $(n-1)n(2n-1)$ делится и на $2$, и на $3$, следовательно, делится на $6$.