Упр.255 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 255. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 255 1012

Обозначим сумму кубов трёх последовательных натуральных чисел через $$a$$:

$$a=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3.$$

Раскроем скобки:

$$ a=(n^3-3n^2+3n-1)+n^3+(n^3+3n^2+3n+1)=3n^3+6n=3n(n^2+2). $$

Докажем, что $$a$$ делится на $$9$$.

Рассмотрим число $$n$$ по модулю $$3$$.

Если $$n=3k$$, то

$$a=3\cdot 3k\bigl((3k)^2+2\bigr)=9k(9k^2+2),$$

значит, $$a$$ делится на $$9$$.

Если $$n=3k+1$$, то

$$ n^2+2=(3k+1)^2+2=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1), $$

следовательно, $$n^2+2$$ делится на $$3$$, а значит,

$$a=3n(n^2+2)$$ делится на $$9$$.

Если $$n=3k+2$$, то

$$ n^2+2=(3k+2)^2+2=9k^2+12k+6=3(3k^2+4k+2), $$

следовательно, $$n^2+2$$ делится на $$3$$, и потому $$a=3n(n^2+2)$$ делится на $$9$$.

Во всех случаях сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на $$9$$.

Ответ

$$ (n-1)^3+n^3+(n+1)^3 $$ делится на $$9$$.